一阶逻辑命题符号化
个体词、谓词、量词
谓词
定义：刻画个体词性质或个体词之间相互关系的词，常用F, G, H等表示
谓词常项 如, F(a)：a是人
谓词变项 如, F(x)：x具有性质F
n（n≥1）元谓词：P(x1, x2, …, xn) ，可以看成是以个体域为定义域，以{0,1}为值域的n元函数 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n≥2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L；G(x,y)：x≥y；…
0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项，0元谓词是命题。任何命题均可以表示为0元谓词
量词
定义：表示个体常项或变项之间数量关系的词
全称量词∀
存在量词∃
一阶逻辑命题符号化
0元谓词
解析：
涉及到量词
在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域
分析：
∀xG(x), G(x)：x爱美
∃xG(x), G(x)：x用左手写字
F(x)：x为人，G(x)：x爱美
∀x(F(x) → G(x))
∃x(F(x) ∧ G(x))
多元变量的符号化
在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数
带否定的命题符号化
在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 没有不呼吸的人 (2) 不是所有的人都喜欢吃糖
顺序不能调换
设个体域为实数域, 将下面命题符号化
对每一个数x都存在一个数y使得x<y
存在一个数x使得对每一个数y都有x<y
分析：
解 L(x,y):x<y
∀x∃yL(x,y)
∃x∀yL(x,y)
一阶逻辑公式及其解释
合式公式
合式公式定义如下：
原子公式是合式公式.
若A是合式公式，则 (¬A)也是合式公式
若A, B是合式公式，则(A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔︎B)也是合式公式
若A是合式公式，则∀xA, ∃xA也是合式公式
只有有限次地应用(1)—(4)形成的符号串才是合式公式.
合式公式也称为谓词公式，简称公式
如, F(x), F(x)∨¬G(x,y), ∀x(F(x)→G(x)) ，∃x∀y(F(x)→G(y)∧L(x,y))等都是合式公式
封闭的公式
指导变元和辖域
定义: 在公式 ∀xA 和 ∃xA 中，称 x 为指导变元，A 为相应量词的辖域。在 ∀x 和 ∃x 的辖域中，x 的所有出现都称为约束出现，A 中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现的。
举例：
例1：
∀x(F(x,y)→G(x,z))，x 为指导变元，(F(x,y)→G(x,z)) 为 ∀x 的辖域，x 的两次出现均为约束出现，y 与 z 均为自由出现。
例2：
∃x(F(x,y,z)→∀y(G(x,y)∧H(x,y,z)))，∃x 中的 x 是指导变元，辖域为 (F(x,y,z)→∀y(G(x,y)∧H(x,y,z)))。∀y 中的 y 是指导变元，辖域为 (G(x,y)∧H(x,y,z))。x 的 3 次出现都是约束出现，y 的第一次出现是自由出现，后 2 次是约束出现，z 的 2 次出现都是自由出现。
闭式
定义4.6 若公式 A 中不含自由出现的个体变项，则称 A 为封闭的公式，简称闭式。
例如，∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) 为闭式，而 ∃x(F(x)∧G(x,y)) 不是闭式
合式公式的解释
说白了就是广义赋值
永真式、矛盾式、可满足式
- 闭式在任何解释下都是命题
- 若公式A在任何解释下均为真, 则称A为永真式(逻辑有效式). 若A在任何解释下均为假, 则称A为矛盾式(永假式). 若至少有一个解释使A为真, 则称A为可满足式.
注：
永真式为可满足式，但反之不真
判断公式是否是可满足的(永真式, 矛盾式)是不可判定的
举例：判断公式类型 闭式只用假设前件真假来判断整个公式真假
非闭式需要找出具体假设
代换实例
说白了就是替换，将复杂的替换成简单的
