前置知识
大端存储与小端存储
实际有效字节
大端存储
低地址存储最高有效字节，高地址存储最低有效字节
小端存储
与大端相反，方便机器是因为机器从低往高读
边界对齐
如何将字地址转换成与之对应的字节地址
已知字编号，对应的字节编号就是自编号逻辑左移2位
已知半字编号，对应的字节编号就是半字编号逻辑左移1位
浮点数的表示
浮点数的表示
浮点数通常表示为：
$ N = r^E * M$
- r：阶码的底，通常为2
- E：阶码，反映浮点数的表示范围和小数点的实际位置，用补码或移码表示
- M：尾数，其位数反映了小数的精度，用原码或补码表示
例：阶码和尾数都用补码表示，求a、b的真值
- a = 0,01; 1.1001
- b = 0,01; 0.01001
a：
- 阶码0,01对应真值+1
- 尾数1.1001(补码)对应真值(先转换成原码)-0.0111
- 故 a=-0.111(B)(上面二进制小数点右移1位) = \(-\frac{7}{8}\)
b：
- 阶码对应真值+1
- 尾数0.01001对应真值+0.01001
- 故 b=0.1001=\(\frac{9}{16}\)
浮点数的规格化
规格化的种类
左规
当浮点数运算的结果为非规格化时要进行规格化处理，将尾数左移一位，阶码减1 ( 基数为2时)：
规定尾数的最高位必须是一个有效值。个人理解，浮点数尾数还是定点小数，表示成0.*******（正数)或者1.******(表示负数)，所以符号位后，小数点下一位，也就是第二位不能是0
举例：
右规
当浮点数运算的结果尾数出现溢出(双符号位为01或10)时，将尾数右移一位，阶码加1 (基数为2时)
规格化数的特点
如何判断需要规格化
1. 无论正数负数，原码尾数最高位(就是符号位下一位)必须是1
2. 补码尾数最高位（就是符号位下一位）必须和尾数符号相反，比如正数就是1，负数就是0
举例：
规格化的小数所能表示范围
原码
补码
上溢和下溢
举例：
IEEE754 标准
移码的求法
移码的求法：移码 = 真值 + 偏置值
偏置值常见两种取法，一种取常数 \(2^{n - 1}\)，等价于符号位取反
另一种是\(2^{n - 1} - 1，等价于加01111111（一个0和7个1）\)
举例：
注：移码只能表示整数，不能表示小数，所以移码用来表示阶码，因为阶码一定是整数
IEEE754标准下的浮点数表示
尾数前隐含一位1
| 类型 | 数阶 | 阶码 | 尾数数值 | 总位数 | 偏置值 |
|---|---|---|---|---|---|
| 短浮点数 | 1 | 8 | 23 | 32 | 7FH（127） |
| 长浮点数 | 1 | 11 | 52 | 64 | 3FFH（1023） |
| 临时浮点数 | 1 | 15 | 64 | 80 | 3FFFH |
对于短浮点数而言，偏置值取127，此时阶码（移码）的表示范围为-126~127：
| 真值 | 补码 | 移码 |
|---|---|---|
| -128 | 1000 0000 | 1111 1111 |
| -127 | 1000 0001 | 0000 0000 |
| -126 | 1000 0010 | 0000 0001 |
| …… | …… | …… |
| 0 | 0000 0000 | 0111 1111 |
| …… | …… | …… |
| 127 | 0111 1111 | 1111 1110 |
-128和-127的作用：
E=0且 M=0，则真值为0；
E=0且 E≠0 M≠0，为非规格化数，真值 = (-1)^S ×0.M×2^(-126)；
E=255且 E≠0 M≠0，真值为‘NaN’（非数值）；
E=255且 E=0 M=0，真值为正或负无穷。
例1：十进制小数转单精度浮点数
例2：单精度浮点数转十进制
浮点数的运算
加减运算
步骤：
对阶
尾数加减
规格化
舍入
判溢出
已知十进制数： \(X = -\frac{5}{256}\) \(Y = +\frac{59}{1024}\)
按机器补码浮点运算规则计算 ( X - Y )，结果用二进制表示，浮点数格式如下：阶符取2位，阶码取3位，数符取2位，尾数取9位。 例子中的浮点数计算过程如下：
- 计算X和Y的浮点表示：
X: 阶码: -101（补码为：1011，阶符取两位、阶码取三位：11011） 尾数: -0.101（补码为1.011，数符取两位、尾数取九位：11.011000000）
Y: 阶码: -100（补码为1100，阶符取两位、阶码取三位：11100） 尾数: +0.111011（补码为0.111011，数符取两位、尾数取九位：00.111011000）
对阶： 计算阶码差：ΔE = 11011 - 11100 = 11011 + 00100 = 11111 （11111为-1的补码） 所以 ΔE = -1 ，X的阶码比Y的阶码小1 阶码每加1，尾数右移一位，则有新的X：11100；11.101100000（右移之后前面补1）
尾数相加减： -Y: 11100；11.000101000 尾数相加，得：10.110001000
规格化： 尾数右移一位，阶码加1，得：X-Y=11101；11.011000100
舍入： 由于无舍入，不需要进行舍入操作。
判断溢出： 未发生溢出
因此，结果真值为 \(2^{-3} \times (-0.1001111)_2\)。
强制类型转换
| 数据类型 | 16位机器 | 32位机器 | 64位机器 |
|---|---|---|---|
| char | 8 | 8 | 8 |
| short | 16 | 16 | 16 |
| int | 16 | 32 | 32 |
| long | 32 | 32 | 64 |
| long long | 64 | 64 | 64 |
| float | 16 | 32 | 32 |
| double | 64 | 64 | 64 |
char --> int --> long --> double 以及 float --> double，不会损失精度。
对于32位系统：
整数类型（int）表示整数，范围为 \(-2^{31} \sim 2^{31}-1\)，有效数字32位。
浮点数类型（float）表示整数及小数，范围为 \(\pm [2^{-126} \sim 2^{127} \times (2^{-2^{-23}})]\)，有效数字为23位尾数加1位整数部分，共24位。
在进行类型转换时：
int --> float：可能会损失精度，因为float类型的有效数字比int类型多。
float --> int：可能会溢出（超出int表示范围），同时可能损失精度（小数部分被舍弃）。